Les chaussettes du panier à linge propre

Voici un autre petit calcul orienté vie pratique que les amateurs du genre devraient apprécier. La motivation de celui-ci réside dans le constat de la difficulté à appareiller mes chaussettes à la sortie du sèche-linge. 

La plupart de mes paires chaussettes sont d'une couleur unie blanche ou noire. Elles se distinguent cependant par quelques motifs subtils pour les paires noires et par des traits de couleur au niveau du mollet pour les paires de sport. Ne pouvant pas distinguer clairement les motifs et les traits de couleur des chaussettes pliées avec les autres vêtements, je dois effectuer une sorte de tirage sans remise de mes chaussettes et les appareiller au fur et à mesure. Généralement, je dois en tirer au moins 5 ou 6 avant d'avoir une paire complète, en sachant que j'ai grosso-modo une quizaine de paires dans mon panier.

Intuitivement, 6 chaussettes avant de trouver une paire c'est vraiment beaucoup. Y a-t-il une explication mathématique à mon manque de bol ? Il s'avère qu'il y en a une, bien que la formule finale soit particulièrement laide. Après calcul, l'espérance du nombre de chaussettes qu'il faut tirer sans remise hors du panier à linge propre contenant $n$ paires avant d'avoir une première paire est:

$$e_n=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \frac{k}{2n-k} 2^{k-1} \frac{(2n-k)!}{(2n-1)!} \frac{(n-1)!}{(n-k)!}$$

L'application numérique donne $e_{15} \approx 6.9$, ce qui est a peu près conforme à l'expérience, modulo mon discernement. Il est a noter qu'asymptotiquement, on a un comportement du type birthday paradox où $e_n \sim \sqrt{n}$. Je joins à la formule les deux récurrences que j'ai utilisées pour son établissement - for debugging purposes.

$$a_{k+1}=2 \frac{n-k}{2n-k}a_k, a_1=1$$

$$b_{k+1}=\frac{k}{2n-k}a_k$$

Où $a_k$ est la probabilité qu'il n'y ait aucune paire parmi $k$ chaussettes tirées sans remise, et $b_k$ est la probabilité qu'on trouve une paire au bout du $k$-ième tirage. Que les bonnes âmes se dévouent et vérifient la formule et/ou trouvent une simplification esthétique :)